تحقیق اعداد و توابع

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل :  word (..doc) ( قابل ويرايش و آماده پرينت )
تعداد صفحه : 40 صفحه

 قسمتی از متن word (..doc) : 
 

‏اعداد مختلط
‏قضیه 1 : هرناحیه ی S‏، همبند چندضلعی است.
‏قضیه 2 : دنباله {zn}‏ همگرا است اگر و فقط اگر {zn}‏ دنباله کوشی باشد.
‏توابع تحلیلی
‏قضیه 3 : چند جمله ای p(x,y)‏ تحلیلی است اگر و فقط اگر py = ipx‏ ،‏
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)‏ و ‏ و ‏
‏قضیه 4 : فرض کنیم
‏در این صورت ‏ اگر و تنها اگر
‏ و
‏قضیه 5 : فرض کنیم ‏ و ‏
‏در این صورت‏ :
‏
‏قضیه 6 : اگر w = f(z)‏ در نقطه ‏ دارای حد ‏ باشد حد یکتاست.
‏قضیه 7 : اگر ‏ آنگاه
‏نتیجه 1‏: ‏ (1-7)
‏قضیه 8 : ترکیب توابع پیوسته پیوسته است.
‏قضیه 9 : اگر تابع f‏ در نقطه ‏ پیوسته و ناصفر باشد آنگاه یک همسایگی نقطه ‏ وجود دارد که در آن ‏.
‏قضیه 10 : تابع یک متغیر مختلط f‏ در نقطه ‏ پیوسته است اگر و فقط اگر توابع مؤلفه ای آن در ‏ پیوسته باشد.
‏قضیه 11 : اگر f‏ در z‏ مشتق پذیر باشد آنگاه f‏ در z‏ پیوسته است.
‏قضیه 12 : فرض کنیم C‏ یک عدد مختلط ثابت و f‏ تابعی باشد که مشتق آن در نقطه z‏ موجود است.
‏الف)
‏ب)
‏ج) اگر مشتقات دو تابع f‏ و g‏ در نقطه z‏ موجود باشد آنگاه
‏د) اگر مشتقات f‏ و g‏ در z‏ موجود باشد آنگاه
‏هـ) اگر ‏ آنگاه
‏قضیه 13 ‏(قاعده زنجیری) ‏:‏ اگر تابع f‏ در‏ و تابع g‏ در‏ مشتق پذیر باشد آنگاه ‏ در نقطه‏ دارای مشتق بوده و خواهیم داشت‏ ‏:
‏قضیه 14 : ‏فرض کنیم f(z) = u(x,y) + iv(x,y)‏ و ‏ در نقطه ‏ موجود باشد. در این صورت مشتقات جزئی مرتبه اول u‏ و v‏ در ‏ مو‏جودند و در آن نقطه در معادلات ک‏شی‏ ـ‏ ریمان صدق می کنند یعنی :
‏همچنین‏ را به صورت زیر می نویسیم
‏که در آن مشتقات جزئی در‏ محاسبه شده اند.
‏قضیه 15 (شرایط کافی برای مشتق پذیری) : فرض کنیم تابع
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)‏ در سراسر یک ‏ همسایگی نقطه‏ تعریف شده باشد. همچنین گیریم مشتقات جزئی مرتبه اول توابع u‏ و v‏ نسبت به x‏ و y‏ در آن همسایگی موجود و در‏ پیوسته باشد و اگر این‏ ‏مشتقات جزئی در نقطه ‏ در معادلات کشی ـ ریمان صدق کنند آنگاه مشتق‏ موجود است.
‏قضیه 16 : فرض کنیم تابع ‏ در یک همسایگی نقطه ‏ غیرصفر تعریف شده باشد و فرض کنیم مشتقات جزئی مرتبه اول u‏ و v‏ نسبت به r‏ و ‏ در آن همسایگی موجود و در ‏ پیوسته باشند. اگر مشتقات جزئی مرتبه اول توابع
r‏ و ‏ در روابط ‏ ‏ صدق کند مشتق‏ موجود است. (1-16)
‏قضیه 17 : اگر در هر نقطه از حوزه D‏ ، ‏ آنگاه f‏ در سراسر D‏ ثابت است.
‏قضیه 18 (اصل بازتاب) : فرض کنیم f‏ تابع تحلیلی در حوزه D‏ شامل قطعه ای از محور x‏ها و نسبت به آن محور متقارن است. در این صورت برای هر نقطه z‏ در D‏ داریم : ‏ اگر و تنها اگر به ازای هر نقطه x‏ بر آن قطعه f(x)‏ حقیقی باشد.
‏قضیه 19 : اگر f(z) = u(x,y) + iv(x,y)‏ در حوزه D‏ تحلیلی باشد توابع مؤلفه ای آن ها u‏ و v‏ در D‏ همسازند.
‏قضیه 20 : تابع f(z) = u(x,y) + iv(x,y)‏ در حوزه D‏ تحلیلی است اگر و فقط اگر v‏ یک مزدوج همساز u‏ در D‏ باشد.
‏قضیه 21 : اگر v‏ مزدوج همساز u‏ در حوزه D‏ باشد آنگاه –u‏ یک مزدوج همساز v‏ در D‏ است و برعکس.
‏نتیجه 2 : اگر دو تابع u‏ و v‏ مزدوج همساز یکدیگر باشند باید u‏ و v‏ هر دو تابع ثابت باشند.
‏انتگرال توابع مختلط
‏لم 1 : برای ‏ و تابع w(t)‏ داریم
‏قضیه 22 (خم ژردان) : نقاط روی منحنی ساده یا مسیر بسته C‏، نقاط مرزی دو حوزه متفاوت اند. یکی از حوزه ها که داخل C‏ نامیده می شود کراندار ولی حوزه ی دیگر خارج C‏، بیکران است.