بررسی مولفه‌های اصلی Principle component
بررسی مولفه‌های اصلی Principle component
| دسته بندی | ریاضی |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 36 کیلو بایت |
| تعداد صفحات | 18 |
دریافت فایل
معرفی روش جدید
مولفه‌های اصلی Principle component
در بیشتر مسائل عملی مشاهدات بصورت تعداد زیادی متغیرهای همبسته می‌باشند برای تحلیل اینگونه مشاهدات به دنبال روش‌های آماری هستیم كه بدون اینكه اطلاعاتی را از دست داده باشیم بعد مسأله را تا حد قابل ملاحظه‌ای كاهش دهیم در حقیقت با كنار گذاشتن متغیرهای با واریانس پایین و توجه به متغیرهای با واریانس بالا می‌توانیم به راحتی مسأله را در یك زیر فضایی با بعد كمتر مورد مطالعه قرار دهیم.
بردار تصادفی X را با بردار میانگین و ماتریس كواریانس یك بردار p بعدی در نظر می گیریم. مولفه‌های اصلی x عبارتند از تركیبات خطی استاندارد شده مولفه های x كه بر حسب واریانس ها ویژگی‌های خاصی دارند.
وزن‌هایی كه در مولفه های اصلی به بردار تصادفی x مربوط میشوند و دقیقاً بردارهای ویژه استاندارد شده ماتریس كواریانس x هستند ریشه‌های ماتریس مشخصه كواریانس برابر مولفه‌های اصلی می‌باشند و بزرگترین ریشه برابر واریانس اولین مولفه اصلی است. برای X هیچ توزیعی فرض نمی‌كنیم تنها شرط لازم برای تحلیل مولفه‌های اصلی این است كه متغیرهای اصلی همبستگی معنی‌داری داشته باشند.
چنانچه مولفه‌های بردار X هم بعد یا هم واحد نباشند میتوان مقادیر ویژه متناظر با ماتریس همبستگی بردار را بدست آورد بكار بردن ماتریس همبستگی باعث استاندارد شدن متغیرها نسبت به واحد واریانس می‌گردد/.
بطور كلی اگر بردار X یك بردار تصادفی P متغیر باشد برای بدست آوردن مولفه‌های اصلی آن چنین عمل می‌كنیم.
ابتدا مقادیر ویژه مربوط به ماتریس كواریانس یا ماتریس همبستگی P را محاسبه می كنیم
I ماتریس P بعدی همانی و یك ماتریس قطری باشد آنگاه
اگر مولفه اصلی متناظر با متغیر باشد آنگاه
= درصد تغییرات iمین مولفه به كل تغییرات
پس از تعیین مقادیر ویژه بردارهای ویژه متناظر با هر یك از مقادیر محاسبه می‌گردد.
مقدار اهمیت k مین متغیر اولیه یعنی را در iمین مولفه اصلی یعنی اندازه می‌گیرد.
ضریب همبستگی بین مولفه‌های و متغیر برابر است با
واریانس K مین متغیر x است.
مقادیر ویژه مربوط به ماتریس همبستگی نمونه را محاسبه كرده و داریم:
|
% واریانس تجمعی |
% واریانس |
مقادیر ویژه |
مولفه |
|
61/764 |
61/764 |
4/323 |
1 |
|
71/743 |
9/980 |
0/699 |
2 |
|
79/765 |
8/022 |
0/562 |
3 |
|
89/466 |
6/701 |
0/469 |
4 |
|
92/634 |
6/168 |
0/432 |
5 |
|
96/469 |
3/835 |
0/268 |
6 |
|
100/00 |
3/531 |
0/247 |
7 |
= نسبت تغییرات مولفه اول به كل تغییرات
تحلیل عاملی Factor Analysis
تحلیل عاملی شامل هر دو روش تحلیل مولفه‌ها (Component) و تحلیل عامل‌های مشترك (Common Factors) می‌باشد.
كاربردهای اصلی تحلیل عاملی عبارتست از :
1- كاهش تعداد متغیرها Data Reduction
2- گروه بندی متغیرها Classing Variables
در تحلیل مولفه اصلی همه پراكندگی مربوط به یك متغیر در تحلیل بكار برده میشود در صورتیكه در تحلیل فاكتورهای (عامل‌های) اصلی ما فقط آن قسمت از پراكندگی متغیر را كه با سایر متغیرها مشترك است، بررسی می كنیم.
تحلیل عاملی در حدود صد سال پیش توسط یك روانشناس بنام چارلز اسپیرمن ابداع شد. او توسط این روش به این نتیجه رسید كه در یك زیر جامعه‌ای از انسانها، توانایی ذهنی (mental ability) افراد كه بر اساس مهارتهای ریاضی، لغت شناسی مهارتهای شفاهی و كلامی. مهارتهای هنری و مهارتهای منطقی و استدلالی اندازه‌گیری میشود، میتواند دقیقاً توسط یك فاكتور اساسی مشترك كه هوش عمومی یا بعبارتی General intelligence نامیده میشود، اندازه‌گیری گردد. امروز كالج Board testing service توانایی ذهنی افراد را بر اساس سه عامل مهم (توانایی شفاهی، ریاضی و منطقی) اندازه‌گیری می‌كند.
بخشی از واریانس یك متغیر خاص كه در اشتراك با عامل‌های دیگر باشد، نامیده میشود: connunality = میزان اشتراك. بنابراین هدف با برآورد كردن همین میزان اشتراك است برای هر متغیر. یعنی بخشی از واریانس كه هر متغیر با سایر متغیرها در اشتراك دارد.
تحلیل عاملی روشی است كه با كشف ساختار یك مجموعه از متغیرها و كاهش این مجموعه به تعداد كمتری از متغیرهای بنیادی‌تر كه عامل نامیده میشود، سرو كار دارد.
این روش در كارهای اسپیرمن روانشناس انگلیسی ریشه دارد كه در سال 1904 اولین مقاله خود را درباره این موضوع در مجله روانشناسی آمریكا چاپ كرد. از آن زمان به بعد بسیاری از روانشناسان و دست‌اندركاران علوم تربیتی علاوه بر ریاضی دانها كه به همكاری با آنها پرداخته‌اند، در گسترش تحلیل عاملی سهم بسزایی داشته‌اند.
یكی از روش‌های مهم تحلیل عاملی بنام روش مولفه اصلی بوسیله ریاضیدان آماری هتلینگ گسترش یافت. علاقه او به این موضوع از همكاری وی با پژوهشگران در زمینه علوم تربیتی برانگیخته شد. مقاله اصلی هتلینگ كه در آن این روش شرح داده شده است در سال 1933 در مجله روان شناسی تربیتی منتشر شد.
هدف تحلیل عاملی توصیف و تفسیر همبستگی‌های درونی مجموعه‌ای واحد از متغیرهاست تحلیل عاملی از دو راه این هدف را برآورده می كند. ابتدا مجموعه متغیرهای اصلی را به تعداد كمتری از متغیرها كه عامل نامیده میشوند، كاهش میدهد، دوم باید معنای عامل به علت ویژگی های ساختاری كه ممكن است در این مجموعه روابط نهفته باشند، روشن شود. عاملها متغیرهای فرضی هستند كه از فرایند تحلیل مجموعه‌ای از متغیرها كه از طریق اندازه‌گیری مستقیم بدست می آیند، استنباط میشوند.
تحلیل عامل‌های مشترك در مقابل
تحلیل مولفه‌های اصلی
تحلیل عاملی یا تحلیل عامل‌های مشترك بعنوان یك روش كلی شامل تحلیل مولفه اصلی میشود. اگر چه این دو روش هدف یكسانی (كاهش بعد فضای داده‌ها) را در نظر دارند اما بر حسب فرضیات زیر بنایی از هم كاملاً متفاوتند.
یك متغیر تنها در مجموعه داده‌ها دارای واریانسی است كه این واریانس تجزیه میشود به واریانس مشترك كه توسط سایر متغیرهای مدل شركت داده میشود و واریانس یگانه (unique) كه نسبت به یك متغیر خاص یكتاست. و شامل مولفه خطا میشود. تحلیل عاملی مشترك فقط واریانس مشترك متغیرهای مشاهده شده را تحلیل می كند و تحلیل مولفه‌های اصلی فقط واریانس كلی را در نظر می‌گیرد و تمایزی بین واریانس یگانه قائل نمیشود. انتخاب یكی از این دو روش بستگی به چندین معیار دارد اولی اینكه چه چیزی در تحلیل مورد توجه است؟
تحلیل عامل‌های مشترك و تحلیل مولفة اصلی هر دو مجموعه متغیرهای اصلی را به مجموعه‌ای با بعد كمتر از متغیرهای مركب كه عامل یا مولفه اصلی خوانده میشوند، كاهش میدهند.
این دو روش در تفسیر متغیرهای مركب بدست آمده از هم متفاوت عمل می‌كنند.
در تحلیل عاملی مشترك یك تعداد كمی از فاكتورها استخراج میشوند تا همبستگی بین متغیرهای مشاهده‌ای را تبیین كنند و اینكه تشخیص دهند ابعاد پنهانی را كه باعث این همبستگی شده است.
